Использование оператора Лапласа для описания электрических цепей переменного тока

Content

DSPL-2.0 is free digital signal processing algorithms library

Distributed under v3 LGPL v3 license

GitHub project page.

Found a mistake? Select it with the mouse and press ctrl+enter
Введение

В предыдущем разделе мы рассмотрели выражения для прямого и обратного преобразования Лапласа, а также его некоторые свойства. Мы говорили, что преобразование Лапласа ставит в соответствие вещественному сигналу его образ , который определяет разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент, где  — комплексная переменная,  — оператор преобразования Лапласа.

В данном разделе мы рассмотрим использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока, и рассмотрим понятие комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной характеристики четырехполюсника . Мы также рассмотрим понятие комплексного коэффициента передачи , а также амплтудно- и фазочастотных характеристик фильтра.

Функции комплексного сопротивления и передаточные характеристики четырехполюсников

Рассмотрим следующий пример (рисунок 1):

Замкнутый контур с сосредоточенными элементами
Figure 1. Замкнутый контур с сосредоточенными элементами

Пусть имеется одиночный замкнутый контур с сосредоточенными элементами: сопротивление (Ом), индуктивность (Гн) и емкость (Ф). В контуре имеется источник электродвижущей силы , который создает в контуре переменный ток . Падение напряжения на элементах цепи , и равно:

(1)

Тогда, согласно закону Кирхгофа, суммарное падение напряжения равно электродвижущей силе :

(2)

Таким образом, для анализа тока , возникающего в контуре, необходимо решить интерго-дифференциальное уравнение (2). Это очень трудоемкая задача, и аналитически не всегда возможная. Однако, если мы перейдем к преобразованию Лапласа от правой и левой частей уравнения (2), то получим:

(3)
и (2) можно представить в операторном виде:

(4)
Вынесем образ тока за скобки:

(5)

Таким образом, мы перешли от интегро-дифференциального уравнения к алгебраическому , которое можно трактовать как закон Ома в операторном виде. Здесь – образ исходной электродвижущей силы , – образ тока , а называется комплексным сопротивлением (импедансом), которое полностью характеризует исходную цепь.

Тогда можно заменить рисунок 1 как источник ЭДС , который нагружен на двухполюсник , как это показано на рисунке 2.

Замещение контура комплексным сопротивлением
Figure 2. Замещение контура комплексным сопротивлением

Если мы выведем клеммы с емкости и будем измерять падение напряжения , то в терминах преобразования Лапласа:

(6)
где – передаточная функция четырехполюсника, как это показано на рисунке 3

Замена четырехполюсника передаточной функцией
Figure 3. Замена четырехполюсника передаточной функцией

В данном примере, передаточная функция – безразмерная величина, характеризующая отношение образов выходного напряжения к образу исходной ЭДС .

Обратим внимание, что согласно (6) преобразование Лапласа выходного напряжения четырехполюсника равно произведению передаточной функции и преобразования Лапласа исходной ЭДС . Тогда перейдя во временную область, используя свойства преобразования Лапласа, можно заключить, что напряжения на выходе фильтра равно свертке входной ЭДС и обратного преобразования от :

(7)

Характеристика представляе собой обратное преобразование от передаточной функции , и называется импульсной характеристикой фильтра.

Аналогично для двухполюсника согласно (5), и ток в контуре есть свертка исходной ЭДС и обратного преобразования Лапласа от функции комплексной проводимости :

(8)

Свойства передаточных функций аналоговых четырехполюсников

Рассмотрим свойства передаточной функции аналогового четырехполюсника на примере показанной на рисунке 3:

(9)

Передаточная функция представляет собой рациональную функцию комплексной переменной c положительными вещественными коэффициентами (номиналы , и положительные вещественные)

Отметим, что любой двухполюсник или четырехполюсник, который состоит из сосредоточенных элементов может быть описан комплексным сопротивлением или передаточной функцией вида [1]:

(10)
с вещественными коэффициентами и .

Из курса теории функций комплексной переменной [2] известно, что функции вида (10) являются аналитическими и могут быть полностью описаны как:

(11)
где  — нули , т.е. корни полинома числителя , а  — полюсы , т.е. корни полинома знаменателя .

Мы уже отмечали, что сигнал на выходе четырехполюсника описывается сверткой исходного сигнала и импульсной характеристикой фильтра , согласно (7). При этом

(12)
представляет собой преобразование Лапласа от импульсной характеристики .

Также заметим, что при , , т.е. выражение (12) преобразуется к виду:

(13)

Таким образом, ничто иное, как преобразование Фурье импульсной характеристики , в предположении, что при (данное предположение выполняется в силу принципа причинности, т.е. реакция физической системы не может наступать раньше воздействия).

Полученная характеристика носит название комплексного коэффициента передачи. Величина имеет смысл циклической частоты, а сам комплексный коэффициент передачи характеризует избирательные свойства фильтра с передаточной характеристикой в частотной области.

Коэффициент передачи также является комплексным и может быть представлен в виде:

(14)
где  — амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ), а  — фазочастотная характеристика (ФЧХ):
(15)

Комплексную переменную можно отобразить на плоскости, тогда реальную и мнимую части и можно отобразить на 3-мерном графике, как это показано на рисунке 4.

3-мерное представление передаточной характеристики  и сечение  плоскостями  и
Figure 4. 3-мерное представление передаточной характеристики и сечение плоскостями и

На 3-мерном рисунке 4 можно выделить горизонтальную плоскость , в которой можно отобразить нули и полюсы (показаны крестиками), а также вертикальную плоскость , в которой будет располагаться комплексный коэффициент передачи , который можно представить двумерными графиками и , или графиками АЧХ и ФЧХ в соответствии с (15)

Ранее мы уже анализировали цепь, представленную на рисунке 3, и получили для нее выражение передаточной характеристики (9). На рисунке 5 показан 3-мерный график модуля , в зависимости от комплексной переменной . В плоскости крестиками показаны полюсы для значений  (Ом),  (Гн) и  (Ф).

Пример 3-мерного графика
Figure 5. Пример 3-мерного графика

В сечении вертикальной плоскостью имеем АЧХ контура (толстая сплошная линия). Приведенный график наглядно показывает связь частотных характеристик фильтра и его передаточной функции , определяемой полюсами в комплексной плоскости .

Условия физической реализуемости передаточных характеристик

Ранее мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока. Мы показали, что пассивный двухполюсник может описан функцией комплексного сопротивления или комплексной проводимости , а пассивный четырехполюсник может быть описан передаточной характеристикой . При этом функции , и представляют собой дробно-рациональные функции вида

(16)
где и – вещественные неотрицательные коэффициенты.

Однако, несмотря на то, что любой четырехполюсник может быть представлен передаточной функцией вида (16), отнюдь не любая функция (16) может быть реализована в виде пассивного четырехполюсника.

В данном разделе мы рассмотрим условия физической реализуемости, которым должна удовлетворять передаточная функция , чтобы быть реализованной в виде пассивного четырехполюсника.

Среди всех возможных дробно-рациональных функций (16) выделяют особый класс функций, которые удовлетворяют следующим условиям:

Такие функции называют положительными вещественными [1].

В своих исследованиях О. Бруне [3] доказал, что передаточная характеристика любого пассивного четырехполюсника с сосредоточенными элементами является положительной вещественной функцией. Также было доказано, что любая положительная вещественная передаточная функция может быть реализована в виде пассивного четырехполюсника.

Первое условие выполняется если все коэффициенты и являются вещественными. Проверить второе условие в общем случае довольно сложно, однако для передаточных функций вида (16) выработаны критерии проверки второго условия положительных вещественных функций (16):

Разность высших и низших степеней полиномов числителя и знаменателя вытекает из условия некратности нулей и полюсов на мнимой оси .

Для того чтобы понять необходимость условия 4 рассмотрим следующий пример. Пусть передаточная функция задана выражением (16), при этом дробь правильная, т.е. степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя . Тогда разложив полиномы числителя и знаменателя на множители получим представление (16) в виде:

(17)
где – нули , т.е. корни полинома числителя , а – полюсы , т.е. корни полинома знаменателя .

Предположим, что все полюсы простые, тогда правильную рациональную дробь можно представить суммой вида [4, стр. 203]:

(18)
где – конечное, в общем случае комплексное число, – производная полинома знаменателя .

Перейдем от передаточной характеристики к временно́й импульсной характеристике . Для этого возьмем обратное преобразование Лапласа:

(19)

Известно, что импульсная характеристика представляет собой реакцию фильтра на бесконечно короткое воздействие. Поэтому не должна носить возрастающий во времени характер. В противном случае, сумма возрастающих комплексных экспонент приведет к тому, что всей энергии Вселенной не хватит для поддержания экспоненциального роста .

Таким образом, можно сделать вывод, что если все полюсы простые, то они не должны располагаться в правой полуплоскости . При этом если полюсы расположены в левой полуплоскости, то и имеет место затухающая импульсная характеристика (19). Если же полюс расположен на мнимой оси, т.е. и содержит незатухающие компоненты .

Рассмотрим теперь, что произойдет, если передаточная функция имеет полюс кратности два. Это означает, что разложение в сумму простейших дробей будет иметь вид [4, стр. 203]:

(20)
где – некоторая константа, а – полюс кратности два.

Тогда использую таблицу преобразований Лапласа [5, стр. 262], импульсную характеристику можно представить:

(21)

Из выражения (21) следует, что наличие кратного полюса на мнимой оси недопустимо, потому что наличие множителя снова приведет к бесконечному линейному росту колебания .

Таким образом мы обосновали необходимость условия 5, которое требует, чтобы полюсы на мнимой оси комплексной плоскости были простыми.

Замечание 1
При увеличении кратности полюса на мнимой оси, множитель согласно свойствам преобразования Лапласа будет переходить в , что приведет к еще более быстрому росту компонент во времени.

Замечание 2
Наличие полюсов кратности в левой полуплоскости (при ) вполне допустимо, поскольку экспоненциальное затухание компоненты быстрее любого степенного возрастания .

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока. Мы произвели переход от интегро-дифференциальных уравнений во времени к алгебраическим уравнениям в Лаплас-образах от токов и напряжений в контуре. В результате были введены понятия комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной функции четырехполюсника.

Также произведен анализ некоторых свойств передаточных функций аналоговых четырехполюсников, введено понятие амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики фильтра. Особое внимание уделено геометрической трактовке передаточной функции и ее параметров как 3-мерной функции и приведены характеристики фильтра как сечения 3-мерной функции различными плоскостями.

Особое внимание уделено вопросам физической реализуемости передаточных характеристик аналоговых фильтров. Были приведены условия физической реализуемости передаточной характеристики фильтра с использованием пассивных компонент.

Reference

[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва, Наука, 1967, 304 с.

[3] Brune O. Synthesis of a finite two-terminal network whose driving-point impedance is a prescribed function of frequency. PhD thesis. Massachusetts Institute of Technology, 1931.

[4] Ильин, В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Москва, Наука, 1965, 572 c.

[5] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[6] Баскаков, С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Москва, ЛЕНАНД, 2016, 528 c. ISBN 978-5-9710-2464-4

[7] Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы Москва, Советское радио, 1977, 608 c.

[8] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications McGraw-Hills, 1986, 474 c. ISBN 0-07-007-015-6

Page update: 24.07.2020 (14:59:18)