Преобразование Лапласа дискретного сигнала. Z-преобразование. Разностное уравнение дискретного фильтра

Content

DSPL-2.0 is free digital signal processing algorithms library

Distributed under LGPL v3 license

GitHub project page.

Found a mistake? Select it with the mouse and press ctrl+enter
Введение

В предыдущих разделах мы подробно рассмотрели расчет аналоговых фильтров с заданными характеристиками. Пришло время переходить к анализу цифровых фильтров. Необходимо разделить понятия дискретного и цифрового фильтра.

Дискретным мы будем называть фильтр, импульсная характеристика которого является дискретной, а коэффициенты передаточной функции рассчитаны точно без ошибок округления.

Под цифровым фильтром мы будем понимать дискретный фильтр, коэффициенты передаточной характеристики которого рассчитаны не точно, а с ошибками округления вызванными конечной разрядностью представления числа.

На практике все рассчитанные фильтры являются цифровыми, так как разрядность представления числа ограничена. Однако использование компьютера позволяет производить операции с 64-битными числами с плавающей точкой, что минимизирует ошибки округления, поэтому можно предполагать, что рассчитанные с такой разрядностью фильтры «почти дискретные».

Важно отметить, что округление коэффициентов устойчивого дискретного фильтра, даже самое незначительное, может привести к неустойчивому цифровому фильтру. Поэтому при расчете фильтров, особенно фильтров высокого порядка, всегда необходимо проверять их устойчивость.

Дискретные сигналы. Преобразование Лапласа дискретного сигнала

В цифровых системах сигналы представляют собой последовательности отсчетов, взятые, как правило, через равные промежутки времени . Ранее мы уже рассматривали модель дискретного сигнала :

(1)

В выражении (1) сумма начинается с нуля, потому что предполагается, что при . Заметим, что индексом мы будем обозначать номер временно́го отсчета.

Графически процесс дискретизации сигнала показан на рисунке 1.

Графическое представление дискретного сигнала
Figure 1. Графическое представление дискретного сигнала

Рассмотрим преобразование Лапласа дискретного сигнала :

(2)

При выводе (2) мы использовали фильтрующее свойство дельта-функции. Выражение (2) носит название дискретного преобразования Лапласа [1, стр 148].

Важное замечание. Если , то получаем дискретно-временное преобразование Фурье дискретного сигнала, при этом является периодической функцией частоты с периодом , кроме того, если , то

(3)

Это нетрудно доказать, подставив в выражение (2) , тогда получим:

(4)

Другими словами дискретное преобразование Лапласа на комплексной плоскости периодично по мнимой оси. Это наглядно показано на рисунке 2 для образа непрерывного сигнала и дискретного сигнала .

Кружочками условно показаны нули образа , а крестиками — полюсы.

Карта нулей и полюсов для непрерывного и дискретного преобразования Лапласа
Figure 2. Карта нулей и полюсов для непрерывного и дискретного преобразования Лапласа

Важно отметить, что периодичность дискретного преобразования Лапласа соответствует периодичности преобразования Фурье дискретного сигнала . Однако, как мы знаем из теории дискретного преобразования Фурье, на каждом периоде повторения спектр дискретного сигнала может быть искажен эффектом алиасинга, т.е. наложением «хвостов» исходной спектральной плотности из высших зон Найквиста (заполненная точками область на карте нулей и полюсов образа соответствует высшим зонам Найквиста).

В случае дискретного преобразования Лапласа эффект алиасинга сохраняется, и периодический образ на каждом периоде отличается от исходного образа . Так например, мы можем наблюдать алиасинг полюсов из высших зон Найквиста при неверном выборе частоты дискретизации. Если все полюсы исходного образа попадают в первую зону Найквиста, то при дискретизации они периодически разможатся, как это показано на рисунке 2.

Положение нулей дискретного преобразования Лапласа , как правило отличается от положения нулей исходного образа в результате эффекта алиасинга.

Фильтрация дискретного сигнала. Дискретный фильтр

Рассмотрим процесс фильтрации дискретного сигнала . Согласно свойству преобразования Лапласа, процесс фильтрации во временно́й области сводится к умножению образа исходного сигнала на передаточную характеристику фильтра , которая в свою очередь, представляет преобразование Лапласа импульсной характеристики фильтра . Тогда преобразование Лапласа сигнала на выходе фильтра можно записать:

(5)

Рассмотрим три случая:

Первый случай.  — образ дискретного сигнала, удовлетворяет (3), а  — передаточная характеристика непрерывного фильтра, и свойство (3) не выполняется, значит также не удовлетворяето (3). Тогда можно сделать вывод о том, что при прохождении дискретного сигнала через аналоговый фильтр, выходной сигнал получается аналоговым. Аналоговый фильтр производит восстановление непрерывного сигнала по имеющемуся дискретному.

Второй случай. удовлетворяет (3), также удовлетворяет (3) (импульсная характеристика фильтра является дискретной), причем интервалы дискретизации сигнала и фильтра одинаковые и равны . Тогда в результате произведения также удовлетворяет (3). Таким образом, при прохождении дискретного сигнала через дискретный фильтр, выходной сигнал получается дискретным, с той же частотой дискретизации.

Третий случай. и  удовлетворяют (3), но интервал дискретизации сигнала равен , а интервал дискретизации импульсной характеристики фильтра (исходный сигнал и и импульсная характеристика фильтра дискретизированы с разной частотой). В этом случае , в частных случаях, может удовлетворять (3), но период дискретизации выходного сигнала , будет равен «наименьшему общему кратному» периодов и . Заметим, что термин <наименьшее общее кратное» взят в кавычки, потому что и могут быть вещественными числами, в том числе и иррациональными. Тогда понимается как вещественное число, которое делится нацело как на , так и на . Например, если , а , то . Данный на практике не встречается, так как требует реализации цифровых схем, работающих на разных тактовых частотах. Разработка таких схем сопряжена с трудностями синхронизации при переходе данных из модулей, работающих на различных тактовых частотах.

Основное правило — для дискретных и цифровых фильтров интервалы дискретизации сигнала и фильтра должны быть равны.

Таким образом, для того чтобы на выходе фильтра получить дискретный сигнал, необходимо чтобы импульсная характеристика фильтра также была дискретной, а значит передаточная характеристика дискретного фильтра может быть представлена как результат дискретного преобразования Лапласа:

(6)

На практике данная сумма может содержать как конечное, так и бесконечное количество коэффициентов .

Если у дискретного фильтра количество коэффициентов ограничено, то такой фильтр называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром)[1], а если количество коэффициентов бесконечно, то такой фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр)[2].

-преобразование

При переходе от аналогового фильтра к цифровому, происходит периодическое размножение передаточной характеристики вдоль оси . При этом, переменная в образах дискретного преобразования Лапласа всегда присутствует только в показателе экспоненты, для обеспечения периодичности передаточных характеристик дискретных систем [1, стр 155].

В результате периодизации также происходит периодическое размножение нулей и полюсов, что доставляет некоторые неудобства. Для облегчения анализа вводят переменную вида:

(7)

В результате введение переменной происходит отображение комплексной -плоскости в -плоскость, и дискретное преобразование Лапласа переходит в -преобразование:

(8)
где  — оператор -преобразования. Заметим, что при , мы можем оперировать только индексами дискретного времени .

Поскольку

(9)
то все бесконечные периодические повторения нулей и полюсов дискретного фильтра в плоскости преобразуются в одну точку в плоскости .

Отображение не является конформным [2, стр. 145], потому что множество точек плоскости отображается в одну точку плоскости .

Графически отображение -плоскости в комплексную -плоскость показано на рисунке 3.

Отображение комплексной  -плоскости
		в компелексную -плоскость
Figure 3. Отображение комплексной -плоскости в компелексную -плоскость
Рассмотрим некоторые особенности отображения (7).

Если , где , то для всех этих точек .

Если чисто вещественно, то и также вещественное, причем . Заметим, что при , (внутри единичной окружности), а при величина (вне единичной окружности).

При , точка на мнимой оси плоскости отображается в точку , расположенную на единичной окружности и повернутой на угол рад. Таким образом, вся мнимая ось плоскости отображается в единичную окружность плоскости . Причем, один оборот единичной окружности соответствует от до рад/c.

Левая полуплоскость комплексной плоскости отображается внутрь единичной окружности плоскости . Действительно если , то представляет вектор длины повернутый на угол рад. При , длина вектора .

Правая полуплоскость комплексной плоскости отображается вне единичной окружности плоскости .

При переходе из комплексной -плоскости в комплексную -плоскость все бесконечно-повторяющиеся нули и полюса дискретного фильтра в -плоскости отображаются в конечное количество нулей и полюсов в -плоскости. Тогда выражение для передаточной характеристики дискретного фильтра может быть представлено при помощи подстановки (7) через конечное количество нулей и полюсов в -плоскости как:

(10)
где и  — отображение нулей и полюсов дискретного фильтра в -плоскости, а и  — коэффициенты дискретного фильтра, полученные путем раскрытия произведений нулей и полюсов и приведении подобных слагаемых.

Таким образом, главный вывод, который мы должны сделать заключается в следующем: при переходе от аналогового фильтра к дискретному, образ по Лапласу становится периодическим по мнимой оси, а количество нулей и полюсов фильтра бесконечным. Но при переходе в комплексную –плоскость мы получаем снова конечное количество нулей и полюсов, и соответственно конечное количество коэффициентов дискретного фильтра.

Свойства -преобразования

Рассмотрим некоторые свойства -преобразования. При этом мы будем рассматривать свойства относительно индексов отсчетов в предположении . В результате мы можем опустить период дискретизации в выражениях -преобразования.

Линейность. -образ суммы двух сигналов равен сумме -образов этих сигналов. Действительно, пусть есть два дискретных сигнала и , . Найдем -преобразование их суммы :

(11)

Свойство задержки. Пусть дан исходный дискретный сигнал , . Найдем -преобразование сигнала , задержанного на отсчетов:

(12)

При выводе (12) была введена переменная , тогда , индекс суммирования изменили с на и учли, что при . В результате задержка исходного сигнала на отсчетов добавляет множитель к -преобразованию сигнала.

Можно показать, что данное свойство также справедливо и для циклической задержки ограниченной выборки сигнала:

(13)

Задержка на один отсчет соответствует умножению образа на . Данное обозначение широко используется для обозначения элемента задержки на один отсчет в цифровых устройствах.

Теорема о свертке. Пусть дано два сигнала ограниченной длительности и , . Найдем -преобразование их циклической свертки :

(14)

При выводе было использовано свойство циклической задержки -преобразования. Таким образом циклическая свертка сигналов соответствует произведению их -образов.

Аналогично, используя свойство задержки, можно показать, что -образ линейной свёртки сигналов равен произведению их -образов:

(15)

В выражении (15) предполагается, что при , а также при .

Разностное уравнение дискретного фильтра

Ранее мы говорили о том, что пассивные аналоговые цепи описываются интегро-дифференциальными уравнениями непрерывного времени . При этом математический аппарат преобразования Лапласа позволяет перейти к алгебраическим уравнениям комплексной переменной при описании характеристик комплексных сопротивлений двухполюсников и передаточных функций четырехполюсников.

Ограничение количества пассивных элементов аналогового фильтра приводит к ограничению порядков интегро-дифференциальных уравнений и, соответственно, полиномов переменной при описании передаточных характеристик.

Прохождение сигнала через аналоговый фильтр описывается интегралом свертки входного сигнала и непрерывной импульсной характеристики , которая в свою очередь не может иметь произвольную форму при ограничении порядка аналогового фильтра, потому что является результатом решения интегро-дифференциальных уравнений ограниченного порядка.

Дискретные системы в, свою очередь, описываются разностными уравнениями дискретного времени . По аналогии с аналоговыми фильтрами, мы не можем требововать бесконечных порядков разностных уравнений, потому что это потребует бесконечных вычислительных ресурсов. Таким образом, мы должны ограничить порядки разностных уравнений, которые связывают выходной сигнал дискретного фильтра с входным сигналом , а также со значениями выходного сигнала в на предыдущих тактах .

Заметим, что здесь мы также ведем рассмотрение относительно индексов отсчетов сигналов, в предположении  c.

Общее разностное уравнение линейного цифрового фильтра имеет вид:

(16)

В выражении (16) коэффициенты задают связь выхода фильтра от последних отсчетов входного сигнала , коэффициенты определят связь выходного сигнала от значений выхода фильтра в предыдущие тактов.

Временной индекс изменяется от до бесконечности, т.к. предполагается, что фильтр после включения может работать неограниченно долго.

Рассмотрим -преобразование разностного уравнения (16). -образ выходного сигнала равен:

(17)

Вторую сумму (17) можно перенести в левую часть уравнения:

(18)
откуда отношение -образов выходного и входного сигналов равно:
(19)

Функция является передаточной характеристикой цифрового фильтра, задаваемого разностным уравнением (16).

Рекурсивные (БИХ) и нерекурсивные (КИХ) фильтры

Согласно разностному уравнению дискретного фильтра (16) очередной выходной отсчет рассчитывается на основе предыдущих выходных отсчетов. Таким образом получается рекурсия и фильтр называется рекурсивным или фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтром).

Рассмотрим пример. Пусть имеется БИХ-фильтр первого порядка с передаточной функцией:

(20)
Очевидно, что коэффициенты фильтра и .

Разностное уравнение фильтра с передаточной характеристикой (20) имеет вид:

(21)

Рассчитаем импульсную характеристику данного фильтра. Для этого необходимо подать на вход цифровой дельта-импульс вида:

(22)

Заметим, что цифровой дельта-импульс отличается от обобщенной дельта-функции . Чтобы избежать путаницы в обозначениях, мы будем аргумент цифрового дельта-импульса записывать в квадратных скобках.

Тогда импульсная характеристика БИХ-фильтра первого порядка (20) может быть записана в виде:

(23)

Импульсная характеристика представлена на рисунке для .

Импульсная характеристика БИХ-фильтра первого порядка при
Figure 4. Импульсная характеристика БИХ-фильтра первого порядка при

Значения импульсной характеристики убывают с ростом , но при этом никогда не достигают нуля (отсюда и название бесконечная импульсная характеристика). При наблюдаются знакопеременные осцилляции , в то время как при импульсная характеристика монотонно убывает.

Рассмотрим теперь передаточную функцию , у которой , а все остальные коэффициенты знаменателя равны нулю. Такая передаточная характеристика соответствует фильтру, выходные отсчеты которого зависят только от входных отсчетов :

(24)

Такой фильтр называется нерекурсивным или фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром). Отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтра полностью совпадают с его коэффициентами , и при импульсная характеристика КИХ-фильтра равна нулю. Важно также отметить, что передаточная характеристика КИХ-фильтра имеет в знаменателе только и все полюсы КИХ-фильтра стянуты в ноль.

Выводы

Таким образом, мы рассмотрели дискретное преобразование Лапласа и показали, что оно периодично по мнимой оси, а дискретный фильтр имеет бесконечное множество полюсов в плоскости .

После мы осуществили отображение комплексной плоскости в комплексную -плоскость и перешли от преобразования Лапласа к -преобразованию, при этом количество нулей и полюсов дискретного фильтра в -плоскости стало конечным.

Рассмотрев свойства -преобразования мы ввели разностное уравнение дискретного фильтра и получили выражения для передаточной характеристики фильтра.

Мы показали, что в дискретном случае можно выделить как БИХ-фильтры, так и КИХ-фильтры, причём разностные уравнения КИХ-фильтров не имеют рекурсивной части.

Notes

[1] в англоязычной литературе — FIR (finite impulse response)

[2] в англоязычной литературе — IIR (infinite impulse response)

Reference

[1] Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.

[2] Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной. Москва, Наука, 1967, 304 с.

[3] Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. Москва, Радио и связь, 1985.

[4] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[5] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[6] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]

Page update: 23.06.2020 (23:48:25)