Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Content

DSPL-2.0 is free digital signal processing algorithms library

Distributed under LGPL v3 license

GitHub project page.

Found a mistake? Select it with the mouse and press ctrl+enter
Исходные данные для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В данном разделе мы рассмотрим расчет передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) по заданным параметрам квадрата АЧХ , показанным на рисунке 1.

Параметры квадрата АЧХ  нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Figure 1. Параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В отличие от фильтров Чебышева первого рода, инверсные фильтры Чебышева обладают гладкой АЧХ в полосе пропускания и обеспечивают равноволновые пульсации в полосе заграждения с амплитудой .

Также важно отметить, что нормированный ФНЧ Чебышева второго рода на частоте рад/с обеспечивает подавление сигнала в раз по мощности, в отличии от рассмотренных выше нормированных ФНЧ Баттерворта и Чебышева первого рода.

Основные соотношения связывающие параметры квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода приведены на рисунке 1.

Аппроксимация квадрата АЧХ нормированного ФНЧ Чебышева второго рода представляется в виде:

(1)
где – многочлен Чебышева порядка первого рода .

Порядок нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, как и порядок нормированного ФНЧ Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения , решение которого имеет вид .

Исходными данными для расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая рад/с, допустимое искажение в полосе пропускания (дБ) и требуемое подавление в полосе заграждения (дБ).

На первом шаге рассчитываются параметры и , после чего производится оценка требуемого порядка фильтра согласно выражению при округлении до бо́льшего целого значения. Для расчета передаточной функции необходимо найти выражения для нулей и полюсов квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.

Нули и полюсы квадрата модуля передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

В отличие от нормированного ФНЧ Чебышева первого рода, нормированного ФНЧ Чебышева второго рода имеет нули, которые находятся из уравнения:

(2)

Комплексный коэффициент передачи есть сечение передаточной характеристики , , плоскостью . Тогда и в уравнение (2) можно подставить :

(3)

Из (3) можно получить выражение для нулей квадрата модуля нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:

(4)

Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода всегда чисто мнимые и по модулю больше единицы. Заметим, что в выражении (4) индексация ограничена , из-за периодичности функции косинуса. Кроме того из анализа (4) следует, что все нули квадрата модуля передаточной характеристики имеют кратность равную двум. Это означает, что среди нулей , имеется всего различных значений и каждый ноль повторяется два раза.

Для расчета полюсов квадрата модуля передаточной характеристики приравняем знаменатель (1) к нулю:

(5)

Выражение (5) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных множителей:

(6)

Уравнение (6) можно переписать:

(7)

Теперь необходимо решить уравнение (7) относительно . Для этого введем обозначение

(8)
тогда

(9)
или с учетом соотношения можно записать:

(10)

Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения (10) и получим систему:

(11)

Гиперболический косинус никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (11) можно записать:

(12)

Из второго уравнения, с учетом (12) можно заметить, что и тогда

(13)

Таким образом, мы рассчитали значения и в выражении (8). Теперь необходимо решить уравнение (8) относительно :

(14)
откуда, с учетом выражения , можно записать:

(15)

Тогда окончательно полюсы квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно записать с учетом (12) и (13):

(16)

Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на комплексной плоскости представлено на рисунке 2 для фильтров 8-го (слева) и 9-го (справа) порядков при подавлении в полосе заграждения дБ.

Нули нормированного ФНЧ Чебышева второго рода (обозначены кружками) расположены на мнимой оси , а полюсы (крестики) – на замкнутой параметрической кривой :

(17)
где – параметр кривой, а зависит от порядка фильтра и уровня подавления в полосе заграждения, определяемого параметром согласно (13).

Параметрические кривые (17) показаны на рисунке 2 непрерывными и пунктирными линиями для различного уровня подавления от 20 до 80 дБ при фиксированном порядке фильтра (левые кривые для , правые для ).

Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции  нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков
Figure 2. Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков

Из анализа рисунка 2 можно заметить, что фильтра нечетного порядка имеет чисто вещественные полюсы, а все полюсы фильтра четного порядка образуют комплексно-сопряженные пары.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все ее нули и полюсы располагались в левой полуплоскости , или на мнимой оси . При этом нули и полюсы на мнимой оси должны быть простыми.

Тогда из всех нулей квадрата модуля передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода необходимо выбрать различных нулей кратности один, а из полюсов ) необходимо выбрать только те, у которых . Тогда все полюсы нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить в виде:

(18)

Передаточная характеристика может быть записана в виде:

(19)

Для представления передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка при , , получим некратный вещественный полюс . При остальных полюсы будут комплексно-сопряженные.

Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно представить через биквадратную форму:

(20)
где
(21)

Нормировочный коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:

(22)

На рисунке 3 показаны квадрат АЧХ , ФЧХ , групповая задержка и временна́я импульсная характеристика нормированных ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков, с подавлением в полосе заграждения дБ. Нули и полюсы данных фильтров показаны на рисунке 2.

Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков
Figure 3. Характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода 8-го (сплошная линия) и 9-го (пунктирная линия) порядков

Из рисунка 3 хорошо видно, что квадрат АЧХ фильтра Чебышева второго рода имеет равноволновые колебания в полосе заграждения, обеспечивая тем самым заданный уровень подавления дБ. При этом можно заметить, что квадрат АЧХ при четном порядке фильтра при увеличении частоты стремится к значению , или дБ, а при нечетном порядке фильтра – к нулю (к бесконечному подавлению).

Пример расчета нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева второго рода исходя из следующих параметров квадрата АЧХ:

(23)

Обратим внимание, что в спецификации (23) параметр , а  рад/с.

Шаг 1. Рассчитаем параметры и :

(24)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданным параметрам АЧХ согласно выражению :

(25)

Округляем в бо́льшую сторону, таким образом порядок фильтра .

Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (20). Для этого произведем предварительные расчеты.

Порядок фильтр , откуда , . Параметр равен:

(26)

Параметры , где принимает значения 1 и 2 равны:

(27)

Тогда свободные члены числителя передаточной функции равны:

(28)

Рассчитаем параметры и , а также рассчитаем :

(29)

Обратим внимание, что и требуется также рассчитать некратный вещественный полюс :

(30)

Рассчитаем нормировочный коэффициент согласно выражению (22):

(31)

Теперь можно рассчитать передаточную характеристику нормированного ФНЧ Чебышева второго рода:

(32)

На этом расчет передаточной функции нормированного ФНЧ Чебышева второго рода можно считать оконченным.

Подставив в выражение (32) для передаточной характеристики , получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать квадрат АЧХ , ФЧХ , групповую задержку и временну́ю импульсную характеристику фильтра.

На рисунке 4 показаны характеристики рассчитанного ФНЧ Чебышева второго рода.

Характеристики рассчитанного нормированного ФНЧ Чебышева второго рода
Figure 4. Характеристики рассчитанного нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Выводы

В данном разделе мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода.

Были получены выражения для нулей и полюсов передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости .

Приведено выражение для передаточной характеристики нормированного ФНЧ Чебышева второго рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра.

Показан вид АЧХ фильтра Чебышева второго рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданным параметрам АЧХ.

Reference

[1] Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Москва, Мир, 1982, 592 с.

[2] Orfanidis S.J. Lecture notes on elliptic filter design. Rutgers University, 2006. [PDF]

[3] Orfanidis S.J. Introduction to Signal Processing. Rutgers University, 2010. [PDF]

[4] Оппенгейм А., Шаффер Р. Цифровая обработка сигналов. Москва, Техносфера, 2012. 1048 с. ISBN 978-5-94836-329-5

[5] Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов СПб, Питер, 2002.

Page update: 23.06.2020 (23:47:54)